Paradoks wybrzeża opisuje zaskakujące zjawisko polegające na tym, że linia brzegowa lądu nie ma jednej, obiektywnej długości. Został on odkryty przez Lewisa Fry’a Richardsona, który zauważył, że im dokładniej mierzymy wybrzeże, tym dłuższy wynik otrzymujemy. Nie wynika to z błędu pomiaru, lecz z samej natury linii brzegowej.

Wybrzeża mają właściwości fraktalne – są bardzo nieregularne i pełne zakrętów na wielu skalach. Gdy używa się dużego „przyrządu” pomiarowego, np. długiego odcinka na mapie, pomija się drobne zatoki, półwyspy czy skały. Gdy natomiast zmniejsza się skalę pomiaru, zaczyna się uwzględniać coraz więcej szczegółów, przez co mierzona długość rośnie. W granicy, przy idealnie małej skali, długość dąży do nieskończoności.

Klasycznym przykładem są fiordy wybrzeża Norwegii, gdzie ogromna liczba wąskich zatok sprawia, że wynik pomiaru silnie zależy od zastosowanej skali. Paradoks wybrzeża pokazuje więc, że pojęcie „długości” w przypadku obiektów naturalnych nie zawsze jest jednoznaczne i że matematyczne modele fraktalne lepiej opisują ich strukturę niż klasyczna geometria.

Poniższa animacja pokazuje koncept zbliżony do paradoksu wybrzeża, natomiast z figurą o określonym obwodzie. W tym przypadku obwód mierzony (czarne linie) będzie zbliżał się do obwodu koła, nie do nieskończoności. Im mniejsze są nasze miarki, obwód bardziej zbliża się do prawdziwego obwodu, w kole - do pewnej liczby, a na wybrzeżu do nieskończoności. Animacja została wykonana w umownych "jednostkach".

Na pierwszy rzut oka wydawałoby się, że w obu zbiorach jest tyle samo liczb — w końcu zarówno liczb naturalnych, jak i rzeczywistych jest nieskończenie wiele. Skoro w obu zbiorach są nieskończoności liczb w obu zbiorach jest ich tyle samo? Okazuje się, że nie.

Najczęstszą metodą sprawdzania, czy dwa zbiory mają taki sam rozmiar, jest przypisanie każdemu elementowi jednego zbioru dokładnie jednego elementu drugiego zbioru.
Spróbujmy więc przypisać kolejne liczby naturalne kolejnym liczbom rzeczywistym:
Wydawało by się, że możemy przypisać wszystkie liczby, natomiast zawsze znajdziemy niezapisaną liczbę zmieniając po jednej cyfrze w rozwinięciach dziesiętnych liczb z listy.Tak powstała liczba różni się od każdej zapisanej co najmniej jedną cyfrą, więc nie znajduje się na liście. Oznacza to, że nie da się wypisać wszystkich liczb rzeczywistych w ten sposób..

Liczby rzeczywiste tworzą zbiór nieskończony niepoliczalny, czyli taki, którego elementów nie da się ponumerować. Zbiór liczb naturalnych jest natomiast nieskończony policzalny, jego elementy można wypisywać kolejno bez pomijania żadnego.

Paradoks został opisany przez Galileusza Galileiego w jego dziele “Rozmowy i dowodzenia matematyczne dotyczące dwóch nowych nauk” z 1638 roku. Był to okres, gdy Galileusz, już w podeszłym wieku i w konflikcie z Kościołem, podsumowywał swoje najważniejsze odkrycia naukowe.

Galileusz zauważył bardzo niezwykłą własność liczb naturalnych i liczb będących ich kwadratami (1, 4, 9, 16…).
Z jednej strony:
Liczb naturalnych jest „oczywiście” więcej, bo kwadraty pojawiają się rzadko:
np. do 100 jest 100 liczb, ale tylko 10 kwadratów.

Intuicyjnie więc oczekujemy, że kwadratów jest mniej.
Z drugiej strony:
Galileusz wskazał, że możemy stworzyć doskonałą parę:
każdej liczbie naturalnej odpowiada dokładnie jeden jej kwadrat:
Jeśli między dwoma zbiorami da się stworzyć taką jednoznaczną parę (odpowiedniość 1:1), to w pewnym sensie mają tyle samo elementów.

To prowadzi do pozornie sprzecznego wniosku:
O ile popatrzymy na liczby skończone, kwadratów jest mniej;
ale w nieskończoności — jest ich tyle samo co liczb naturalnych.

Galileusz jako jeden z pierwszych zauważył, że nieskończone zbiory nie zachowują się tak jak zbiory skończone. Paradoks ten zasygnalizował, że intuicje z liczb skończonych zawodzą i że do badania nieskończoności potrzebne są nowe pojęcia i narzędzia matematyczne. Dopiero 250 lat później Georg Cantor stworzył pełną teorię mocy zbiorów, która wyjaśniła takie zjawiska.